Francesco Di Noto, Anna Foglino
Abstract
New ideas on vedic factoring
Riassunto
Nuove osservazioni sulla fattorizzazione di numeri N = p*q con un numero pari di cifre, per esempio quattro : chiameremo A le prime due, e B le seconde due . Troviamo che q ≈ A+B se A e B sono quasi uguali, per esempio 2021: q ≈ (A + B) /2 se A è circa il doppio di B o viceversa
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In Rif. 1, al quale rimandiamo, abbiamo mostrato alcuni esempi di fattorizzazione vedica.
Qui mostriamo, con alcuni esempi pratici, le nuove recenti osservazioni accennate nel Riassunto
q ≈ A+B se A e B sono quasi uguali, per esempio: 2021 q ≈ (A+B) /2
Alcuni esempi
Esempio 1
Sutra per Uno Più del Precedente
N =2021 = 43*47, con 20 = 4*5 = 20 = numero Oblungo (4 e 5 sono numeri consecutivi) e 21 = 3 *7 con 3 e 7 a somma 10 (3+7=10)
Alla prima cifra (4) del numero oblungo si aggiungono i fattori 3 e 7 di B (21) e otteniamo 43 e 47 fattori esatti di 2021
Con il nostro algoritmo semplificato, abbiamo: poiché 20 ≈ 21 e quindi A ≈ B p’≈ A +B =20 + 21 = 41≈ 43, e basta cercare tra i numeri primi più vicini per trovare p reale, infatti 41 + 2 =43 valore reale
Dividendo 2021 per 41 otteniamo 49, 29, con 49 vicino 49 a q reale = 47
Esempio 2
2257 = 37*61 ( supponiamo di non conoscere la fattorizzazione)
Poiché 57 è circa il doppio di 37, p meglio la media (A+B) /2 (a volte p’ o q’ ha questa forma
p’ ≈ (22+57)/2 = 79/2 = 39,5 ≈ 37 reale
In questo caso possiamo anche usare l’inverso della fattorizzazione vedica.
Esempio 2
Sutra Propozionalmente
La matematica vedica offre già (un’altra nostra idea) una buona rapidità di fattorizzazione per numeri N composti con B prodotto di fattori primi o anche non primi, anche senza essere a somma 10.
Per esempio 87 *97 = 8439 con 87 =3*29 e 97 primo; infatti 13 e 3 fattori di 39, hanno somma 13 +3 =16 diversa da 10 fattorizzando B = 39, abbiamo 39 = 13*3 e quindi 84 +3 = 87 = p e 84 +13 = 97 = q;
La fattorizzazione è fatta senza dividere n per tutti i numeri primi fino a 91, radice quadrata intera di 8439 * (vedi in seguito esempi di moltiplicazione vedica)
Esempio 3
Sutra per Uno Più del Precedente
Consideriamo il numero 7221 e vogliamo fattorizzarlo rapidamente, sappiamo già che 72 = 8*9, e quindi la prima cifra di p e q è la cifra minore, è 8 (non sempre quella minore, in questo caso 8 di 8*9 =72, e così’ pure che 21 è 7*3 con 3+7=10, e quindi le seconde cifre sono 3 e 7;
quindi otteniamo subito i fattori (primi o non primi non importa) 83 e 87.
Esempio 4
Sutra Verticale e Incrociato
Infine, qualche esempio con B numero primo o anche non primo:
B è numero primo N =3861= 39*99 non primi, ma 61 è primo A = 38 = differenza diagonale, B = 61 numero primo, quindi 1*61
p = 38 +1 =39
q = 38 + 61 = 99
B = p*q prodotto di due numeri primi:
Esempio 5
Il Sutra è il Verticale e Incrociato.
N =7469 = 77*97 A = 74 B = 69 = 3*23 = b’*b’’ fattori di B
Anche qui i fattori di B non hanno somma 10, poiché 3+ (2+3) = 3+5 = 8
Applicando direttamente le q = A + b’’ (1) e p = A + b’’ = (2)
abbiamo
p = 74+3 = 77
q = 74+23 = 97
e la fattorizzazione è fatta!
74 è A = differenza diagonale nel prodotto vedico:
Esempio di moltiplicazione vedica per
77*97 (=7469)
100 – 77 = 23
100 – 97= 3
77 -23 differenza diagonale 77- 3 = 74 = A
97 – 3 differenza diagonale 97 – 23= 74 = A
74 69
7469 = N = unione di A e B.
Ma questi sono esempi deterministici, perché N rispetta le regole della fattorizzazione vedica. In questo lavoro, però il nostro algoritmo non è deterministico ma solo probabilistico, ma interessante per fattorizzare semiprimo N = p*q con p e q abbastanza vicini tra loro, senza preoccuparsi tanto se A è oblungo o no, o se B è connesso alla potenza di 10 successiva ad N, o se i fattori di B siano a somma 10 ; si perde un po’ in precisione, ma ci si guadagna in tempo di calcolo.
La fattorizzazione vedica ricorre, come abbiamo visto, ai numeri oblunghi, sul quale abbiamo un teorema sulla loro distribuzione logaritmica, che riportiamo integralmente, potendo essere utile ad eventuali futuri miglioramenti, nostri o altrui, della fattorizzazione vedica.
Riportiamo prima due tabelle facilitante per i numeri oblunghi per eventuali esercizi:
Tabella facilitante:
In questa tabella considero il numero N=AB dove A è un numero oblungo e B è il prodotto risultante dai numeri b’ e b’’ che sommano a 10 B=b’*b’’ con b’+b’’=10.
TABELLA 1
NUMERI OBLUNGHI = A = n* (n+1) = 2T (doppi dei
numeri triangolari T = n*(n+1)
2
| n | n+1 | n*(n+1) A | I numeri b’ e b’ tali che b’+b’’=10 | I prodotto dei numeri b’ e b’ tali che b’+b’’=10 |
| 1 | 2 | 2 |
1e
9
| 9 |
| 2 | 3 | 6 | 2 e 8 | 16 |
| 3 | 4 | 12 | 3 e 7 | 21 |
| 4 | 5 | 20 | 4 e 6 | 16 |
| 5 | 6 | 30 | 5 e 5 | 25 |
| 6 | 7 | 42 |
|
|
| 7 | 8 | 56 |
|
|
| 8 | 9 | 72 |
|
|
| 9 | 10 | 90 |
|
|
| … | … | … | … | … |
In rosso i componenti A e B dell’esempio 2021 = 43*47 e 7221, con 20 e 72 numeri oblunghi e 21 =3*7.
Altro esempio con A=56 =7*8 numero oblungo e B = 16 prodotto di 2*8 con somma 10 = 2 + 8;
Nel caso A= 56 e B =16, quindi N = 5616 e p = 72 e q = 78 poiché 5616 = 72*78
Combinando entrambi i numeri A e B otteniamo i numeri N facilmente secondo la nostra prima idea vedica di questo lavoro
TABELLA 2
| A ↓ B → | 9 | 16 | 21 | 24 | 25 |
| 2 | 29 | 216 | 221 | 224 | 225 |
| 6 | 69 | 616 | 621 23*27 | 624 | 625 |
| 12 | 129 | 1216 | 1221 | 1224 | 1225 |
| 20 | 209 | 2016 | 2021 43*47 | 2024 | 2028 |
| 30 | 309 | 3016 | 3021 | 3024 | 3025 |
| 42 | 429 | 4216 | 4221 | 4224 | 4228 |
| 56 | 569 | 5616 | 5621 | 5624 | 5625 |
| 72 | 729 | 7216 | 7221 | 7224 | 7225 |
| 90 | 909 | 9016 | 9021 | 9024 | 9025 |
Totale: 45 numeri facilmente fattorizzabili, e nell’ultima colonna sono spesso quadrati 25, 225, 625, 1225, 3025, 5625, 7225, 9025.
Fattorizzando A con il Sutra per Uno Più del Precedente (ottenendo i due numeri consecutivi n ed n + 1) e B (ottenendo i fattori b’ e b’’ con somma 10, (nel caso di 9 dobbiamo considerare 1+ 9 =10 e non consideriamo 9 come prodotto di 3*3, poiché 3 + 3 = 6 non soddisfa la condizione b’+b’’=10)
Per esempio, se nei nostri calcoli ci imbattiamo nel numero 7221 e vogliamo fattorizzarlo rapidamente, sappiamo già che 72 = 8*9, e quindi la prima cifra di p e q è la cifra minore, è 8 (non sempre quella minore, in questo caso 8 di 8*9 =72 e così’ pure che 21 è 7*3 con 3+7=10, e quindi le seconde cifre sono 3 e 7; quindi otteniamo subito i fattori (primi o non primi non importa) 83 e 87.
Ma non necessariamente A e B debbono avere lo stesso numero di cifre. Oppure B ne dovrebbe avere 2: per esempio 125*126 = 15750, di cinque cifre, al quale accostiamo un numero B dell’ultima colonna della Tabella 1:
| 9 |
| 16 |
| 21 |
| 24 |
| 25 |
1575009 con 9 =1 + 9 =10 p = 1251 q = 1259 infatti 125*126 = 15570 tenendo conto della base troviamo il valore iniziale
1575016 p = 1252 q = 1258 1575016/1252 = 1258 fattori reali
1575021 p = 1253 q = 1257 reali
1575024 p = 1256 q = 1254 fattori reali
1575025 con 25 = 5*5 p = 1255 q =1265 1575025/1255 = 1255, quindi in questo caso
1575025 è un quadrato, caso abbastanza frequente in questi casi, per esempio anche 7225 = 85*85
Quindi la fattorizzazione vedica con i numeri oblunghi funziona in tutti i casi.
Quanto visto si può estendere nel considerare la base 100 e avendo pertanto più cifre a destra, di questo ne possiamo parlare in futuro..
Riferimenti.
1 –
matematicavedica.com/category/studi/
matematicavedica.com/criteri-di-divisibilita-e-possibile-fattorizzazione-semplificata-in…
2 –
Oblunghi (numeri) – Mauro Fiorentini
Anna Foglino e Francesco di Noto
Caltanissetta 22.12.2019
